การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนาม (Derivative of Polynomials)

อนุพันธ์ (Derivative) เป็นเครื่องมือหลักในวิชาแคลคูลัส ที่ใช้สำหรับหา "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" (Instantaneous Rate of Change) หรือใช้สำหรับหา "ความชันของเส้นโค้ง" (Slope of the tangent line) ณ จุดใดๆ บนกราฟ

สัญลักษณ์ของอนุพันธ์

หากเรามีฟังก์ชัน y = f(x) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของฟังก์ชันนี้มีหลายรูปแบบตามแต่ผู้ที่คิดค้น:

• f'(x) (อ่านว่า เอฟ ไพรม์ ของ เอกซ์) แบบลากรองจ์ (Lagrange)
• dy/dx (อ่านว่า ดีวาย บาย ดีเอกซ์) แบบไลบ์นิทซ์ (Leibniz)
• y' (อ่านว่า วาย ไพรม์)

กฎการหาอนุพันธ์ที่สำคัญ (Power Rule)

สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนาม (Polynomials) เราจะใช้กฎพื้นฐานที่เรียกว่า Power Rule หรือ กฎของเลขชี้กำลัง ซึ่งมีใจความว่า:

ความหมายคือ "ตบเลขชี้กำลังลงมาคูณด้านหน้า แล้วลดเลขชี้กำลังเดิมลงไป 1"

กฎพื้นฐานอื่นๆ ที่ต้องใช้ร่วมกัน:

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (Constant Rule):
   d/dx [ c ] = 0 (อนุพันธ์ของตัวเลขโดดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์เสมอ เพราะกราฟค่าคงที่เป็นเส้นตรงแนวนอน ความชันเป็น 0)
2. อนุพันธ์ของค่าคงที่คูณฟังก์ชัน (Constant Multiple Rule):
   d/dx [ c · f(x) ] = c · f'(x)
3. อนุพันธ์ของผลบวกและผลต่าง (Sum and Difference Rule):
   d/dx [ f(x) ± g(x) ] = f'(x) ± g'(x) (สามารถกระจายดิฟเข้าไปในพจน์บวกลบได้เลย)

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์

สมมติเราต้องการหาอนุพันธ์ของ f(x) = 4x³ - 2x² + 7x + 5

• f'(x) = d/dx(4x³) - d/dx(2x²) + d/dx(7x) + d/dx(5)
• f'(x) = (4)(3)x³⁻¹ - (2)(2)x²⁻¹ + (7)(1)x¹⁻¹ + 0
• f'(x) = 12x² - 4x + 7x⁰
• f'(x) = 12x² - 4x + 7 (เพราะ x⁰ = 1)

การหาอนุพันธ์นอกจากจะช่วยให้เรารู้ความชันของกราฟแล้ว ในทางฟิสิกส์ยังประยุกต์ใช้ในการหาความเร็ว (Velocity) จากสมการตำแหน่ง (Position) และความเร่ง (Acceleration) จากสมการความเร็วได้อีกด้วย