ผลรวมของมุมภายในรูปหลายเหลี่ยม (Sum of Interior Angles of a Polygon)

ในทางเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยม (Polygon) คือรูปทรงแบนราบแบบปิดที่ประกอบด้วยด้านที่เป็นเส้นตรงตั้งแต่ 3 เส้นขึ้นไป (เช่น รูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม) คุณสมบัติพื้นฐานที่สำคัญอย่างหนึ่งของการศึกษาเรื่องรูปหลายเหลี่ยมก็คือ ผลรวมของมุมภายใน (Sum of Interior Angles)ซึ่งมีสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนและสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายผ่านการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมย่อยๆ

สูตรการหาผลรวมมุมภายใน

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีจำนวนด้านเท่ากับ nด้าน (โดยที่ n ≥ 3) ผลรวมของมุมภายในทั้งหมดสามารถคำนวณได้จากสูตร:

ตัวอย่างการคำนวณ:

• รูปสามเหลี่ยม (n=3): (3 - 2) × 180° = 1 × 180° = 180°
• รูปสี่เหลี่ยม (n=4): (4 - 2) × 180° = 2 × 180° = 360°
• รูปห้าเหลี่ยม (n=5): (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°
• รูปหกเหลี่ยม (n=6): (6 - 2) × 180° = 4 × 180° = 720°

ที่มาของสูตร (ทำไมต้อง n - 2)

ถ้าเราวาดรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ขึ้นมา แล้วเลือกจุดยอดมุมจุดหนึ่ง ลากเส้นทแยงมุมจากจุดยอดนั้นไปยังจุดยอดอื่นๆ ที่ไม่ติดกัน เราจะสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนั้นออกเป็นรูปสามเหลี่ยมย่อยๆ ได้จำนวน n - 2 รูปเสมอ เรารู้ว่าผลรวมมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปเท่ากับ 180 องศา ดังนั้นเมื่อนำจำนวนรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดมาคูณด้วย 180 ก็จะได้ผลรวมของมุมภายในทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนั้นนั่นเอง

การหามุมแต่ละมุมในรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า (Regular Polygon)

รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า (Regular Polygon) คือรูปหลายเหลี่ยมที่ทุกด้านมีความยาวเท่ากัน และทุกมุมมีขนาดเท่ากัน (เช่น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส, รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า) ดังนั้น หากเราทราบผลรวมของมุมภายในทั้งหมดแล้ว เราสามารถหาขนาดของแต่ละมุมได้ง่ายๆ โดยการนำผลรวมมุมภายในหารด้วยจำนวนด้าน (หรือจำนวนมุม) n

ตัวอย่างเช่น รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า (n=6) จะมีผลรวมมุมภายใน 720° ดังนั้นมุมแต่ละมุมจะมีขนาดเท่ากับ 720° / 6 = 120° เป็นต้น

ความสัมพันธ์กับมุมภายนอก (Exterior Angles)

เกร็ดความรู้เพิ่มเติมคือ ไม่ว่ารูปหลายเหลี่ยม(แบบนูนหรือ Convex Polygon) นั้นจะมีจำนวนด้านกี่ด้านก็ตาม ผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดจะเท่ากับ 360 องศาเสมอซึ่งในกรณีที่เป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า มุมภายนอกแต่ละมุมจะเท่ากับ 360° / n และแน่นอนว่า มุมภายใน + มุมภายนอก ที่จุดยอดเดียวกันจะต้องรวมกันได้ 180 องศา (มุมตรง) เสมอ

เครื่องมือคำนวณด้านบนสามารถช่วยคุณคำนวณหาทั้งผลรวมของมุมภายในและขนาดของมุมแต่ละมุมได้อย่างแม่นยำและรวดเร็ว เพียงแค่ป้อนจำนวนด้านที่ต้องการระบบก็จะแสดงผลลัพธ์ให้ทันทีครับ