มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยม N ด้าน (Regular Polygon Exterior Angle): นิยาม ทฤษฎีบท และตัวอย่างวิธีทำ
ในวิชาเรขาคณิต (Geometry) การศึกษาคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมเป็นแกนกลางหลักในการทำความเข้าใจมิติและการออกแบบ โครงสร้างรูปเรขาคณิตที่เป็นระบบที่สุดคือ รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า (Regular Polygon) ซึ่งหมายถึงรูปหลายเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านเท่ากันทุกด้าน และมีขนาดของมุมภายในเท่ากันทุกมุม นอกเหนือจากมุมภายใน (Interior Angle) แล้ว อีกส่วนประกอบหนึ่งที่มีความสำคัญในการคำนวณแนวคิดโครงสร้างและเส้นรอบรูปคือ มุมภายนอก (Exterior Angle)
มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?
หากเราลากเส้นต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมออกไปทางด้านนอก มุมที่อยู่ระหว่างส่วนต่อของด้านนั้นกับด้านที่อยู่ติดกันจะเรียกว่า มุมภายนอก คุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุดในทางคณิตศาสตร์คือ ไม่ว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หรือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านมากเพียงใดก็ตาม ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมโค้ง (Convex Polygon) ใดๆ จะมีค่าคงที่เสมอคือ 360 องศา (หรือ 2π เรเดียน)
สูตรคำนวณหามุมภายนอกในแต่ละมุมของรูป N เหลี่ยมด้านเท่า
เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ามีด้านทั้งหมด N ด้าน และมีมุมภายนอกที่เท่ากันทั้งหมด N มุม ดังนั้นเราจึงสามารถหามุมภายนอกแต่ละมุมได้โดยการนำ 360 องศา หารด้วยจำนวนด้าน N:
ความสัมพันธ์ระหว่างมุมภายนอกและมุมภายในคือ ทั้งสองมุมนี้รวมกันจะได้มุมบนเส้นตรงพอดี (Straight Angle) ซึ่งมีขนาด 180 องศา ส่งผลให้:
ตารางตัวอย่างการคำนวณตามจำนวนด้าน N
ลองมาดูตัวอย่างการคำนวณหามุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป:
- รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (N = 3): มุมภายนอก = 360° ÷ 3 = 120° (มุมภายใน = 180° - 120° = 60°)
- รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (N = 4): มุมภายนอก = 360° ÷ 4 = 90° (มุมภายใน = 180° - 90° = 90°)
- รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า (N = 5): มุมภายนอก = 360° ÷ 5 = 72° (มุมภายใน = 180° - 72° = 108°)
- รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า (N = 6): มุมภายนอก = 360° ÷ 6 = 60° (มุมภายใน = 180° - 60° = 120°)
- รูปแปดเหลี่ยมด้านเท่า (N = 8): มุมภายนอก = 360° ÷ 8 = 45° (มุมภายใน = 180° - 45° = 135°)
การนำไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ
ความเข้าใจในเรื่องมุมภายนอกมีประโยชน์อย่างมากในอุตสาหกรรมการสถาปัตยกรรมและวิศวกรรมการก่อสร้าง เช่น การปูพื้นกระเบื้องลวดลายต่างๆ (Tessellation) เนื่องจากสถาปนิกจำเป็นต้องคำนวณว่ามุมของกระเบื้องแต่ละรูปทรงจะประกบกันได้สนิท 360 องศาพอดีโดยไม่มีช่องว่างหรือไม่ นอกจากนี้ ในการเขียนโปรแกรมกราฟิกส์ หรือการสั่งการหุ่นยนต์เคลื่อนที่ตามเส้นขอบรูปทรงเรขาคณิต (เช่น หุ่นยนต์วาดรูป) หุ่นยนต์จะต้องหันตัวตามทิศทางมุมภายนอกเพื่อเปลี่ยนเส้นทางเดินในจุดเลี้ยวแต่ละมุมอย่างถูกต้อง