{isTH ? 'สูตรผลต่างกำลังสอง (Difference of Squares) และการนำไปประยุกต์ใช้' : 'The Difference of Squares Formula & Applications'}
ในทางพีชคณิต ผลต่างกำลังสอง (Difference of Squares) คือเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นรากฐานสำคัญในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ตัวสูตรแสดงถึงความสัมพันธ์เมื่อนำเลขยกกำลังสองของตัวแปรสองตัวมาลบกัน ซึ่งสามารถกระจายออกเป็นผลคูณของผลลบและผลบวกของเลขฐานทั้งสองได้ดังสมการ:
พิสูจน์เชิงเรขาคณิต (Geometric Proof)
ความสวยงามของผลต่างกำลังสองคือเราสามารถอธิบายให้เห็นภาพได้ผ่านพื้นที่ทางเรขาคณิต: สมมติให้เรามีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่รูปหนึ่งที่มีความยาวด้านเท่ากับ $a$ ซึ่งจะมีพื้นที่เท่ากับ $a^2$ ต่อมาเราตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กที่มีความยาวด้านเป็น $b$ ออกจากมุมหนึ่งของสี่เหลี่ยมรูปใหญ่ (ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ $b^2$) ดังนั้นพื้นที่ส่วนที่เหลืออยู่จะมีค่าเท่ากับ $a^2 - b^2$ (พื้นที่เป็นรูปทรงตัว L)
หากเราตัดแบ่งรูปทรงตัว L นี้ออกเป็นสองชิ้นส่วนแล้วนำมาจัดเรียงต่อกันใหม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าชิ้นเดียว เราจะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างเท่ากับ $(a - b)$ และมีความยาวเท่ากับ $(a + b)$ พอดี ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ $(a - b)(a + b)$ นั่นเอง นี่คือการพิสูจน์ที่ประจักษ์ชัดว่าทำไมพื้นที่ทั้งสองแบบนี้จึงเท่ากันอย่างสมบูรณ์
การแยกตัวประกอบในรูปพหุนาม
เรานิยมใช้สูตรนี้ในการลดรูปพหุนาม โดยมองตัวหน้าเป็นกล่องยกกำลังสองและตัวหลังเป็นกล่องยกกำลังสอง เช่น:
- x² - 16 = x² - 4² = (x - 4)(x + 4)
- 4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3)
- 3x² - 5 = (√3x)² - (√5)² = (√3x - √5)(√3x + √5)
ประโยชน์ในการคำนวณทางลัดเชิงตัวเลข
เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ของผลต่างกำลังสองในการคิดเลขในใจได้อย่างรวดเร็วมาก เช่น การคำนวณ $99 \times 101$: แทนที่จะตั้งคูณแบบดั้งเดิม ให้เรามองเป็น $(100 - 1)(100 + 1)$ จากนั้นแปลงกลับเป็นผลต่างกำลังสอง: $100^2 - 1^2$ ซึ่งก็คือ $10,000 - 1 = 9,999$ เป็นทางลัดการคิดคำนวณที่มีประสิทธิภาพและลดความผิดพลาดในการคิดคำนวณลงอย่างมหาศาล