วิธีจัดหมู่ (Combination) คืออะไร? พร้อมสูตรคำนวณ nCr อย่างละเอียด
เรียนรู้และเข้าใจคณิตศาสตร์เรื่องการจัดหมู่ สูตร nCr วิธีจัดกลุ่มสิ่งของโดยไม่สนใจลำดับ พร้อมตัวอย่างและวิธีทำ
1. นิยามและแนวคิดของการจัดหมู่ (Combination)
ในวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ การจัดหมู่ (Combination) คือ การเลือกกลุ่มสิ่งของจำนวน r ชิ้น ออกมาจากสิ่งของที่มีความแตกต่างกันทั้งหมดจำนวน n ชิ้น โดยมีกฎเกณฑ์ที่สำคัญมากที่สุดคือ “ไม่ถือลำดับเป็นสำคัญ” หมายความว่า การเลือกสิ่งของกลุ่มเดิมในลำดับที่ต่างกัน จะนับเป็นเพียง 1 วิธีเท่านั้น ตัวอย่างเช่น การเลือกผู้แทน 2 คน จากพนักงาน 3 คน (A, B, C) การเลือกได้กลุ่ม A และ B (AB) จะมีค่าเท่ากับการเลือกได้กลุ่ม B และ A (BA) เนื่องจากได้คนกลุ่มเดียวกันมาทำงาน
2. สูตรสำหรับการคำนวณการจัดหมู่
การคำนวณจำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยเลือกคราวละ r ชิ้น (โดยไม่มีการเลือกซ้ำ) สามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ C(n, r) หรือ nCr หรือ {"(n)"} over {"(r)"}โดยมีสูตรดังนี้:
* หมายเหตุ: เครื่องหมายอัศเจรีย์ (!) หมายถึง แฟกทอเรียล (Factorial)คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึงจำนวนนั้นๆ เช่น 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 และมีข้อตกลงทางคณิตศาสตร์ให้ 0! = 1
นอกจากนี้ หากอนุญาตให้สิ่งของที่เลือกแต่ละชิ้นสามารถเลือกซ้ำกันได้ (Combination with Repetition) เราจะใช้สูตรการคำนวณจัดหมู่ที่มีการซ้ำ ซึ่งระบุด้วยสัญลักษณ์ H(n, r) หรือคิดเป็น C(n + r - 1, r) ดังนี้:
3. ความแตกต่างระหว่าง Combination และ Permutation
หลายคนมักสับสนระหว่าง การจัดหมู่ (Combination) และ การจัดลำดับ (Permutation)ความแตกต่างพื้นฐานอยู่ที่ “ความสำคัญของลำดับ”
| หัวข้อเปรียบเทียบ | การจัดหมู่ (Combination: nCr) | การจัดลำดับ (Permutation: nPr) |
|---|---|---|
| ความสำคัญของลำดับ | ไม่สำคัญ (AB และ BA ถือเป็น 1 วิธี) | สำคัญมาก (AB และ BA ถือเป็นคนละวิธีกัน) |
| สูตรการคำนวณ | n! / (r!(n-r)!) | n! / (n-r)! |
| ตัวอย่างโจทย์ | การจัดทีมฟุตบอล, การแจกไพ่, การจับสลากรางวัล | การตั้งรหัสผ่าน, การสลับที่นั่งบนม้านั่งยาว, การมอบรางวัลอันดับ 1, 2, 3 |
4. ตัวอย่างการแสดงวิธีทำ
โจทย์ตัวอย่าง: ต้องการเลือกคณะกรรมการนักเรียน 3 คน จากผู้สมัครทั้งหมด 7 คน จะมีวิธีจัดหมู่ที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี?
วิธีคิด:
จากโจทย์ จะพบว่ามีคนให้เลือกทั้งหมด n = 7 คน และต้องการเลือกมา r = 3 คน
เนื่องจากการตั้งคณะกรรมการไม่ได้ระบุตำแหน่ง (สลับคนในกลุ่มก็เป็นกรรมการชุดเดิม) ลำดับจึงไม่สำคัญ จึงใช้สูตรการจัดหมู่ C(n, r)
C(7, 3) = 7! / (3! × (7 - 3)!)
C(7, 3) = 7! / (3! × 4!)
C(7, 3) = (7 × 6 × 5 × 4!) / ((3 × 2 × 1) × 4!)
ตัดตัวร่วม 4! ออก จะได้:
C(7, 3) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1)
C(7, 3) = 210 / 6 = 35 วิธี
คำตอบ: มีวิธีจัดเลือกคณะกรรมการทั้งหมด 35 วิธี
5. ประโยชน์ของเครื่องมือคำนวณออนไลน์ nCr
เมื่อต้องคำนวณกับตัวเลขที่มีค่าสูงๆ เช่น n = 50 หรือ n = 100 การกดคำนวณแฟกทอเรียลด้วยมือจะเป็นเรื่องที่เสียเวลาและมีโอกาสเกิดความผิดพลาดได้สูงมาก เครื่องคำนวณ nCr ออนไลน์นี้ถูกออกแบบมาเพื่อช่วยให้นักเรียน นักศึกษา และนักสถิติ สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ รวดเร็ว พร้อมทั้งแสดงลำดับขั้นตอนอย่างเป็นระบบ ทำให้สามารถนำไปอ้างอิงและประยุกต์ใช้ในการบ้านหรือโครงการวิเคราะห์ข้อมูลได้อย่างไร้กังวล