สมการกำลังสอง หรือ Quadratic Equation ในทางคณิตศาสตร์คือสมการพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 (เลขชี้กำลังสูงสุดคือ 2) รูปแบบทั่วไปมาตรฐานที่ใช้ทั่วโลกคือ ax² + bx + c = 0 โดยที่ x แทนตัวแปรหรือค่าที่เราต้องการค้นหา (Unknown) ส่วน a, b, และ c เป็นค่าคงตัว (สัมประสิทธิ์) ที่ระบุไว้ โดยมีเงื่อนไขสำคัญเพียงข้อเดียวคือ a ต้องไม่เท่ากับ 0 (เพราะถ้า a=0 มันจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น bx + c = 0 ทันที) เมื่อนำสมการนี้ไปวาดกราฟบนระนาบพิกัดฉาก (Cartesian Coordinate System) จะได้กราฟรูปโค้งที่เรียกว่า 'พาราโบลา' (Parabola) ซึ่งอาจจะคว่ำหรือหงายขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของค่า a อ้างอิง: ตำราคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.ต้น (สสวท.); สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา (MAA).

สูตรกำลังสอง (Quadratic Formula) ที่เราท่องจำกันว่า x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a เป็นเครื่องมือสากลที่สามารถใช้แก้สมการกำลังสองได้ทุกรูปแบบ โดยไม่ต้องมานั่งแยกตัวประกอบ (Factoring) ให้ยุ่งยาก สูตรนี้มีต้นกำเนิดมาจากการใช้วิธี 'การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์' (Completing the Square) กับสมการรูปทั่วไป ax² + bx + c = 0 เครื่องหมาย ± (บวกหรือลบ) หน้าเครื่องหมายรูท (Square Root) เป็นตัวบ่งชี้ว่าสมการประเภทนี้มักจะมี 2 คำตอบที่เป็นไปได้ เพราะแกนสมมาตรของพาราโบลาจะแบ่งกราฟออกเป็นสองฝั่งที่ตัดแกน x สองจุดพอดี อ้างอิง: ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ของ Al-Khwarizmi นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียผู้ให้กำเนิดวิชาพีชคณิต; วารสารคณิตศาสตร์ประยุกต์.

ค่า Discriminant (มักใช้สัญลักษณ์ Δ หรือ ตัวดีลต้า) คือนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง (Square Root) ในสูตรกำลังสอง นั่นคือ Δ = b² - 4ac ค่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งยวดเพราะมันเป็น 'ตัวจำแนก' ชนิดของคำตอบที่เราจะได้ โดยไม่ต้องคำนวณจนจบสูตร กฎคือ: 1) ถ้า Δ > 0 (เป็นค่าบวก) แปลว่าถอดรูทได้ค่าจริง 2 ค่า สมการจะมี 2 คำตอบที่เป็นจำนวนจริง (กราฟตัดแกน X สองจุด) 2) ถ้า Δ = 0 ถอดรูทได้ 0 สมการจะมีคำตอบเดียวหรือที่เรียกว่า 'รากซ้ำ' (กราฟสัมผัสแกน X จุดเดียวพอดี) 3) ถ้า Δ < 0 (เป็นค่าลบ) ในระบบจำนวนจริงจะไม่สามารถถอดรูทค่าลบได้ แปลว่าสมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะได้คำตอบเป็น 'จำนวนเชิงซ้อน' (Complex Numbers) ที่ติดค่า i (กราฟลอยอยู่เหนือหรือใต้แกน X โดยไม่ตัดเลย) อ้างอิง: ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต (Fundamental Theorem of Algebra); สถาบันวิจัยคณิตศาสตร์ทฤษฎี.

แม้จะเป็นคณิตศาสตร์ในห้องเรียน แต่สมการกำลังสองประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงและวงการวิทยาศาสตร์วิศวกรรมอย่างกว้างขวาง ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดในวิชาฟิสิกส์คือ 'การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์' (Projectile Motion) เช่น การคำนวณวิถีโค้งของลูกบาสเกตบอลที่ถูกชู้ต การยิงจรวด หรือวิถีปืนใหญ่ ซึ่งสมการความสูง (h) เมื่อเทียบกับเวลา (t) จะอยู่ในรูป h(t) = -1/2(g)t² + vt + h₀ (ซึ่งเป็นฟังก์ชันกำลังสอง) ทำให้สามารถคำนวณจุดสูงสุดหรือเวลาตกถึงพื้นได้อย่างแม่นยำ ในวิศวกรรมโยธา ใช้คำนวณส่วนโค้งของสะพานแขวน ส่วนในเศรษฐศาสตร์ ธุรกิจใช้ฟังก์ชันพาราโบลาเพื่อหาจุดกำไรสูงสุด (Maximum Profit) หรือจุดต้นทุนต่ำสุด (Minimum Cost) ผ่านการหาจุดยอด (Vertex) ของสมการ อ้างอิง: ฟิสิกส์ มหาวิทยาลัย (University Physics by Young and Freedman); คณะวิศวกรรมศาสตร์ ภาควิชากลศาสตร์ประยุกต์.